quinta-feira, maio 15, 2008

Américo Tavares - A moeda contrafeita

Como instrumento de análise, a balança de braços iguais produz três resultados possíveis entre o que é colocado no prato da esquerda e no da direita:
  1. Mais pesado que...
  2. Menos pesado que...
  3. Tão pesado como...
Claude Shannon diria o mesmo de outro modo:
A máxima informação disponível através de uma operação com uma balança de pratos iguais é log(3)/log(2)=1.58496 bits ou, de forma exacta, 1 unidade ternária.
Para se isolar um caso entre 27 equiprováveis precisamos obter uma informação equivalente a log(27)/log(2)=4.7548 bits ou 3 unidades ternárias. Claude Shannon apenas nos chama a atenção para o grau de incerteza que está inerente a qualquer problema, logo a quantidade de informação que é necessário adquirir por qualquer processo, usando qualquer instrumento de análise. Nada adianta sobre o método de resolução, nem sequer garante que ele exista ou que seja praticável. Assim, no problema da moeda contrafeita, se é fácil concluir que o número de operações excede o mínimo necessário - o limite de Shannon - fica totalmente em aberto saber-se como chegar lá.
Porém, Shannon diz-nos algo mais:
Para que a balança produza o máximo de informação, é necessário que a medida incida sobre casos equiprováveis.
A solução do problema apresentada por Luísa Novo, retirando conclusões úteis das duas condições de desiquilíbrio da balança e da condição de equilíbrio e dividindo em cada etapa a suspeita de modo equitativo entre os dois grupos usados nos pratos e um terceiro que ficava de fora, satisfaz as duas condições de Shannon, constituindo por isso uma solução optimizada (nas condições enunciadas, o número de operações com a balança ou pesagens para reduzir a incerteza inicial a zero obtem-se dividindo esta pela informação ganha em cada operação: 4.7548 bits/1.58496 bits=3).


Blog Problemas e Teoremas de Américo Tavares

Américo Tavares dá vida a um blog - Problemas e/ou Teoremas - dedicado à matemática. Introduziu um elemento de complexidade que me escapou: a moeda contrafeita poderia ser mais pesada que as genuinas em ouro. Logo, o grau de incerteza inicial viria aumentado em 1 bit ( 5.754887 em vez de 4.754887), sendo este bit suplementar devido ao facto de não possuirmos a informação sobre a desigualdade dos pesos ser por excesso ou por defeito. Como o poder resolvente da balança é o mesmo e excede este bit suplementar, teoricamente bastará mais uma operação para se isolar a moeda falsa. Mas, para que isso seja possível, é necessário que os grupos de moedas sobre os quais se opera distribuam entre si a suspeita de conterem a moeda falsa de forma aproximadamente equitativa. A solução é um exercício muito interessante de engenharia e pode ser consultada no blog do autor.

PS: Teoricamente, pode-se imaginar uma moeda contrafeita por deposição electrolítica de uma camada externa de ouro num núcleo de volfrâmio. Como este metal possui a mesma massa volúmica que o ouro, fica aberta uma terceira hipótese, a de que a moeda contrafeita tenha o mesmo peso que as genuinas. O problema, colocado nestes termos, deixa de poder ser resolvido com recurso a uma balança.

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2 Comentários:

At 21:54, Blogger Américo Tavares disse...

Se bem interpreto, este caso de 27 moedas, desconhecendo-se se a contrafeita pesa mais ou menos, é equivalente (do ponto de vista da informação) a ter uma moeda contrafeita num grupo de 54, sabendo-se à partida se o seu peso é menor (ou maior) do que as restantes.

Acrescentei ao meu post um link para este, transcrevendo uma parte do seu PS.

 
At 00:49, Blogger António Chaves Ferrão disse...

Caro Américo
A solução que apresenta é bem engenhosa. Tentarei voltar ao assunto. Mas, no essencial, estou de acordo que a incerteza é equivalente a 1 enre 54.
Um abraço

 

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