quarta-feira, fevereiro 17, 2010

A extracção da Raiz Quadrada

A extracção da raiz quadrada foi um dos temas que foi contemplado com a invasão do ensino público pelo eduquês.
Não me conformando com a substituição da algoritmia pela máquina de calcular, apresento aqui uma representação deste algoritmo que se revela bastante simples e sistemática, embora algo diferente daquela que aprendi nos idos do meu tempo escolar, isto embora a lógica seja a mesma.

Interessou-me particularmente este exemplo numérico, para efeitos da exposição do cálculo.

Começo por considerar o desenvolvimento em três colunas, a saber:
Na primeira coluna figuram os cálculos auxiliares;
Na segunda coluna figuram as partes inteiras do número dado, e dos eventuais restos.
Na terceira coluna figuram as partes decimais dos anteriores, e também o valor final da raiz quadrada, este na segunda linha.
De duas em duas linhas, será traçada uma linha horizontal para separar o desenvolvimento de cada um dos dígitos do resultado obtido.

Começo então por colocar na segunda e terceira colunas, o número de que pretendo extrair a raiz quadrada, assim:

.. | 1.52|27.6
.. | ... 1 |1

O número inicial é 152,276 portanto coloquei a parte inteira na segunda coluna, e a parte decimal na terceira.
Depois de colocar o número, distribui-se o separador . de modo a marcar o número de dois em dois dígitos, a contar a partir do separador decimal - a vírgula na nossa notação, a qual neste algoritmo é representada pelo segundo traço vertical.
Esta separação de dois em dois dígitos resulta do facto da centena ser o quadrado da dezena, e na realidade cada uma das etapas consiste em obter o dígito do resultado que corresponde a cada um dos pares de dígitos do valor dado.
O "1" que coloquei na terceira coluna da segunda linha corresponde já à zaíz inteira do "1" que foi separado do 152, e é já o primeiro dígito do resultado, que ficará colocado neste mesmo local.
E o "1" que coloquei na segunda coluna da segunda linha corresponde ao quadrado perfeito do "1" que ficou na terceira coluna.
Uma vez calculado o primeiro dígito do resultado, traçamos o primeiro separador horizontal e passamos à parte repetitiva do desenvolvimento.

.... | .. 1.52|27.6
.... | ...... 1 |1
---------------
20| .. 0 52|
22| ..... 44|

Começamos por subtrair os valores da segunda coluna, para obter o zero; a este acrescenta-se o 52 que é o segundo grupo de dois algarismos em que se dividiu o número inicial.
O 20 foi obtido fazendo o dobro do resultado parcial que figura actualmente na segunda linha da terceira coluna (=1) e acrescentando-lhe um zero.
O 22 que foi colocado abaixo do anterior resulta de substituir o zero do 20 por um outro inteiro, de tal modo que multiplicando este resultado pelo mesmo 2, há-de dar um produto que não seja superior ao 52.
E o 44 corresponde ao produto final do 22 pelo mesmo algarismo 2 que se substituiu no 20.
O algarismo a acrescentar ao 1 que figura no nosso resultado parcial, é portanto o 2 que converte o "1" em "12", completanto a segunda etapa do processo:

.... | .. 1.52|27.6
.... | ...... 1 |1
---------------
20| .. 0 52|
22| ..... 44|
---------------
24|0 .... 08|27
24|3 ...... 7|29

O 240 corresponde ao dobro de 12, que é o resultado parcial actual, acrescentando-lhe um zero.
O 827 vem da subtracção indicada acima, acrescentando-lhe os dois dígitos seguintes do número dado inicialmente, na primeira linha.
O 243 é aquele número que é adaptado do 240, de tal modo que, multiplicado pelo mesmo 3, não será superior ao 827.
E o 729 é o triplo do 243, que confirma o algarismo "3" como terceiro dígito do resultado, a acrescentar ao "12", depois de lhe colocar a vírgula decimal uma vez que o 27 que se baixou para o obter já figura na terceira coluna.

.... | .. 1.52|27.6
.... | ...... 1 |1
---------------
20| .. 0 52|
22| ..... 44|
---------------
24|0 .... 08|27
24|3 ...... 7|29
---------------
24|60 .... 0|9860
24|64 ...... |9856
---------------
... | ........ 0|0004

Dispensando-me aqui de repetir a descrição desta última etapa, mostro apenas que o último resto, igual a 0,0004 significa que o quadrado de 12,34 corresponde a 4 décimas milésimas a menos do que 152,276, ou seja 12,34 x 12,34 + 0,0004 = 152,276.

A colocação dos algarismos entre a primeira e a segunda colunas, é feita de tal maneira que os algarismos trespassam o traço vertical, em correspondência com o que acontece nos restos que se distribuem entre a segunda e a terceira colunas. No caso deste exemplo, isso aconteceu a seguir à linha que contém o 22 e o 44.

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